Question

已知a、b、c为ABC的三边,且a^2-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0,求这个三角形的最大内角

Answer 1

【最大角为∠C，∠C=120°】
解：已知
a^2-a-2b-2c=0,
a+2b-2c+3=0
联立可得
b=(a^2-2a-3)/4=(a-3)(a+1)/4，c=(a^2+3)/4
因为a>0,很明显c>b
下面比较c与a的大小
因为b=(a-3)(a+1)/4>0,解得a>3,（a<-1的情况很明显为负数舍弃了）
假设c=(a^2+3)/4>a
解得
a<1或a>3，刚好符合
所以c>a
所以最大边为c
余弦定理求解就可以了
a^2+b^2-2*a*b*cosC=c^2
将b、c用含a的表达式代入得
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
=[a^2+(a^2-2a-3)^2/16-(a^2+3)^2/16]/2ab
=[16a^2+(a^4+4a^2+9-4a^3-6a^2+12a)-(a^4+6a^2+9)]/32ab
=(-4a^3+8a^2+12a)/32ab
=-(a^2-2a-3)/8b--------------------（1）
因为b=(a^2-2a-3)/4，所以
（1）式=-1/2
即cosC=-1/2
∠C=120°
所以此时最大角为∠C=120°
题毕
ho~