Question

如图,直线y=1/2x+2与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=1/2x2+bx+c与直线交于点A，E两点，若B（1，0）

Answer 1

设点e的横坐标为m，则它的纵坐标为
1/2m^2-3/2m+1
即
e点的坐标（m，1/2m^2-3/2m+1）又∵点e在直线上y=1/2x+1
∴
1/2m^2-3/2m+1=1/2m+1
解得m1=0（舍去），m2=4
∴e的坐标为（4，3）
（ⅰ）当a为直角顶点时
过a作ap1⊥de交x轴于p1点，设p1（a,0）
易知d点坐标为（－2，0）
由rt△aod∽rt△poa得
即，∴a＝
1/2
∴p1（1/2，0）
（ⅱ）同理，当e为直角顶点时，p2点坐标为（11/2，0）
（ⅲ）当p为直角顶点时，过e作ef⊥x轴于f，设p3（b,3）
由∠opa+∠fpe＝90°，
得∠opa＝∠fep
rt△aop∽rt△pfe
由得
解得，b=3
or
b=1
∴此时的点p3的坐标为（1，0）或（3，0）
综上所述，满足条件的点p的坐标为（1/2，0）或（11/21，0）或（3，0）或（1，0）

Answer 2

(1)：由题意可知：A（0,2），D（-4,0）
A点坐标带入二次函数：2=c
将B点坐标带入二次函数：0=0.5*1+b+c
得出
b=-2.5
所以抛物线方程：y=0.5*x^2-2.5x+2。
(2):
△PBC的周长，其中BC是固定的，即求PB+PC的最小值。
由（1）得B（1,0），C（4,0）
所以BC=3。
假设P坐标为（x，y），PB=a，PC=b，可知a》0，b》0
。
带入直线得：y=0.5x+2，
△PBC的周长=3+a+b》3+2√ab，当且当a=b时取=号！（不知道你学了不等式没，学了就简单了）
所以周长最小时a=b，即PB=PC，就是△PBC是等边三角形，P点的横坐标是BC的中点，即
x=2.5，这时y=3.25，即P（2.5,3.25）
（3）：这个应该学了向量了吧？
A（0,2），E（6,5）
假设Q坐标为（x，0），
即向量AQ（x，-2），向量EQ（x-6，-5），向量AE（6,3），
（1）：AQ与EQ要垂直，即向量AQ与EQ的乘积为0，即x*（x-6）+10=0，无解。
（2）：AQ与AE垂直，即6x-6=0，解出x=1，所以Q（1，0）
（3）：AE与EQ垂直，即6*（x-6）-5*3=0，解出x=8.5，即Q（8.5,0）
所以△QAE是直角三角形时，Q的坐标是（1，0）或者（8.5,0）
（4）设M的横坐标为x，所以M坐标为（x，0.5x+2），N坐标为（x，0.5*x^2-2.5x+2），
所以MN的长度即为0.5*x^2-2.5x+2-（0.5x+2）的绝对值，
即0.5x^2-3x的绝对值。
又有0.5x^2-3x=0.5*（x-3）^2-4.5，
M点在AE线段上，即0

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