Question

一道初三的数学题，关于二次函数的。

已知P(1,a),是抛物线y=ax*(平方)上的点，且点P在第一象限。
直线y=kx+b过点P交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M
问：当b=4时，记三角形MOA面积为S，求S的倒数的最大值。

Answer 1

点P在第一象限,说明a是正数，y=ax^2开口向上,
当b=4时
求y=kx+4与y=ax^2的交点
ax^2-kx-4=0
x=[k±√（k^2+16a)]/2a
MOA面积为S=4*xA/2+4*│xM│/2=2(xA-xM)=2√（k^2+16a)/a
1/S=a/2√（k^2+16a)
当k=0时，1/S取得最大值a/2√16a=√a/8

Answer 2

设M(t,at^2)
M、P也在y=kx+4上，
at^2=kt+4
a=k+4
点P在第一象限,所以a＞0

at^2=(a-4)t+4
t=1或t=-4/a
所以M(-4/a,16/a)

y=kx+4与y轴交点为（0，4）

S=(1/2)|-4/a-1|*4
=2(|4/a+1|
=(8+2a)/a

1/S=a/(8+2a)
8(1/S)+a(2/S-1)=0
a=8(1/S)/[1-2(1/S)]＞0
1-2(1/S)＞0
1/S＜1/2

1/S=a/(8+2a)≤a/[2√(16a)]=(1/8)√a
1/S≤(1/8)√a,当8=2a，即a=4时取等号）