Question

已知两点A(2,3)、(4,1),直线l:x+2y-2=0,在直线l上求一点P(...

已知两点A(2,3)、(4,1),直线l:x+2y-2=0,在直线l上求一点P (1)使|PA|+|PB|最小; (2)使|PA|-|PB|最大.

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的两点式方程．专题：计算题；综合题．分析：先判断A、B与直线l：x+2y-2=0的位置关系,即把点的坐标代入x+2y-2,看符号相同在同侧,相反异侧．（1）使|PA|+|PB|最小,如果A、B在l的同侧,将其中一点对称到l的另一侧,连线与l的交点即为P；如果A、B在l的异侧,则直接连线求交点P即可．（2）使|PA|-|PB|最大．如果A、B在l的同侧,则直接连线求交点P即可；如果A、B在l的异侧,将其中一点对称到l的另一侧,连线与l的交点即为P．（1）可判断A、B在直线l的同侧,设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1,y1）．则有
x1+22+2��
y1+32-2=0,
y1-3x1-2��（-
12）=-1．解得x1=-
25,y1=-
95．由两点式求得直线A1B的方程为y=
711（x-4）+1,直线A1B与l的交点可求得为P（
5625,-
325）．由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小．（2）由两点式求得直线AB的方程为y-1=-（x-4）,即x+y-5=0．直线AB与l的交点可求得为P（8,-3）,它使|PA|-|PB|最大．点评：本题考查点与直线的位置关系,直线关于直线对称问题,以及平面几何知识,是中档题．