Question

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆T经过P(1，63)，Q(2，33)．（I）...

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆T经过P(1，63)，Q(2，33)． （I）求椭圆T的标准方程； （II）椭圆T上是否存在点E（m，n）使得直线l：x=my+n交椭圆于M，N两点，且OM•ON=0？若存在求出点E坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

解：（I）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）
将坐标代入方程，得m+23n=12m+13n=1，∴m=13n=1，
∴椭圆的方程为x23+y2=1…（4分）
（II）联立方程x2+3y2=3x=my+n，消去x可得（m2+3）y2+2mny+n2-3=0，
设M（x1，y1）、N（x2，y2）
∴y1+y2=-2mnm2+3，y1y2=n2-3m2+3…（6分）
∴OM•ON=x1x2+y1y2=0，即y1y2+（my1+n）（my2+n）=0
所以(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=0，
将韦达代入上式，化简得：4n2=3（m2+1）①…（8分）
又点E（m，n）在椭圆上，∴m23+n2=1，∴n2=1-m23②
由①②得m2=313，n2=1213，
所以E(±313，±1213)…（12分）