Question

y=|sinx|+|cosx|的单调性

Answer 1

解：
①当x在第一象限时，即[2kπ,π/2+2kπ)，k∈Z时：sinx≥0，cosx>0
∴y=sinx+cosx=√2sin(x+π/2)
sinx在此区间为增函数，而sin(x+π/2)是由sinx向左移动π/2所得
所以sin(x+π/2)为先增后减，极点为π/4+2kπ
∴在区间[2kπ,π/4+2kπ)上为增函数，[π/4+2kπ,π/2+2kπ)上为减函数
②当x在第二象限时，即[π/2+2kπ,π+2kπ)，k∈Z时：sinx>0，cosx≤0
∴y=sinx-cosx=√2sin(x-π/2)
sinx在此区间为减函数，而sin(x-π/2)是由sinx向右移动π/2所得
所以sin(x-π/2)为先增后减，极点为3π/4+2kπ
∴在区间[π/2+2kπ,3π/4+2kπ)上为增函数，[3π/4+2kπ,π+2kπ)上为减函数
③当x在第三象限时，即[π+2kπ,3π/2+2kπ)，k∈Z时：sinx≤0，cosx<0
∴y=-sinx-cosx=-√2sin(x+π/2)
-sinx在此区间为增函数，而-sin(x+π/2)是由-sinx向左移动π/2所得
所以sin(x-π/2)为先增后减，极点为5π/4+2kπ
∴在区间[π+2kπ,5π/4+2kπ)上为增函数，[5π/4+2kπ,3π/2+2kπ)上为减函数
④当x在第四象限时，即[3π/2+2kπ,2π+2kπ)，k∈Z时：sinx<0，cosx≥0
∴y=-sinx+cosx=-√2sin(x-π/2)
-sinx在此区间为减函数，而-sin(x-π/2)是由sinx向右移动π/2所得
所以sin(x-π/2)为先增后减，极点为7π/4+2kπ
∴在区间[3π/2+2kπ,7π/4+2kπ)上为增函数，[7π/4+2kπ,2π+2kπ)上为减函数
综合①②③④所述：
y的增区间为[2kπ,π/4+2kπ)∪[π/2+2kπ,3π/4+2kπ)∪[π+2kπ,5π/4+2kπ)∪[3π/2+2kπ,7π/4+2kπ)
y的减区间为[π/4+2kπ,π/2+2kπ)∪[3π/4+2kπ,π+2kπ)∪[5π/4+2kπ,3π/2+2kπ)∪[7π/4+2kπ,2π+2kπ)