Question

设函数f(x)=log2(2^x-1)，解不等式f(2x)大于f-1(x).

Answer 1

解：∵f(x)=log2(2^x-1)
∴f-1(x)=log2(2^x+1)
f(2x)=log2(2^2x-1)
∵f(2x)>f-1(x)
∴log2(2^2x-1)>log2(2^x+1)
∴2^2x-1>2^x+1
∴2^2x-2^x-2>0
令2^x=t，则上述不等式化为t^2-t-2>0
解不等式得：t<-1或t>2
即2^x<-1或2^x>2
∴x>1
补充说明：反函数你会求吧？反函数与原函数关于直线y=x对称，在这道题中反函数是这样求出来的:
∵f(x)=log2(2^x-1)
∴2^f(x)=2^x-1
(根据对数的定义表达式逆运算得这一步）
2^x=2^f(x)+1
x=log2（2^f(x)+1）
(这里又用回对数来表示x)
∴f(x)=log2(2^x+1)
将上一步的x和f(x)交换位置，就得到这一步了。但是你在写的时候，
f(x)要写成f-1(x)，因为到这一步已经是把反函数求出来了
而反函数是要用f-1(x)表示的嘛
还有，在log2(2^2x-1)>log2(2^x+1)这一步，由于不等式两边都是以2为底的对数，所以就直接得到2^2x-1>2^x+1
还有，2^2x是指2的2x次方，它相当于2^x的2次方，所以在2^2x-2^x-2>0这一步就可以换元了，使不等式转化为关于求t的不等式，求出t的取值范围后，再把2^x代入t的位置求x，因为最终要求的是x，换元成t只是方便计算，所以要回代。
还有，在2^x<-1或2^x>2这一步，由于2^x恒>0，所以只需算2^x>2就行了