Question

已知函数f(x)=1/x+alnx(a≠0,a∈R)

(1)若a=1。求函数f(x)的极值和单调区间 (2)若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0,求实数a的取值范围

Answer 1

显然，原函数的定义域为
x>0
(1)令f'(x)=a/x-1/(x^2)=0
得极值
x0=1/a
且当x>x0时，f'(x)>0，f(x)递增
当0<x<x0时，f'(x)<0，f(x)递减
若a>0，f(x)最大值f(e)=1/x+a<0,又因为x∈[1,e]，故a∈[-1,-1/e];若a<0，f(x)最大值f(1)=1/x<0，又因为x∈[1,e]，所以此不等式不成立。综上说述a∈[-1,-1/e]。