Question

数学微积分题目 求解答

这道题，来点过程就行，中英皆可，急求谢谢

Answer 1

分享一种解法，应用欧拉公式求解。
(I)，设ak=cos[(k-1)π/60]，bk=sin[(k-1)π/60]，k=1.2，…，30。【令α=π/60】
∴∑(ak+ibk)=∑e^[i(k-1)α]，是首项为1、公比q=e^(iα)的等比数列。∴∑e^[i(k-1)α]=[1-e^(i30α)]/[1-e^(iα)]=[(1+sinα-cosα)+i(-1+sinα+cosα)]/[2(1-cosα)]。
∴[(π/2)/30]∑sin[(k-1)π/60]=(α/2)(-1+sinα+cosα)]/(1-cosα)=(π/120)[cot(π/120)-1]。
同理，可得(II)的结果是，(π/80)[1+cot(π/80)]。
供参考。

Answer 2

A=∫(0,π/2) sinxdx
(0,π/2) 表示积分上下限
=-cosx|(0,π/2)
=1

2.由定积分的定义。
∫(0,1) sin(πx/2)dx
=lim π/(2n)*∑sin[iπ/(2n))] ,n趋向∞
i=1,2...
当n取30时，
S(30)=((π/2)/30)*∑sin[i/(π/60)] , i=1,2...
相对于题目中第一式,起始项与尾项不同
所以其和=S+((π/2)/30)*sin[0*π/60)] -
((π/2)/30)*∑sin[30*π/60)]
=S-π/60
又
∫(0,1) sin(πx/2)dx=-2/πcos(πx/2)|(0,1)
=2/π
则显然，S<A,所以第一式＜A
同理可知，令n=20
即第二个表达式=S(20),20<n
显然可知其值仍然＜A
n取的值越大，越接近真实的积分值