Question

这个题怎么做，求解

求证，(1+1/n-1)^(n-1)<(1+1/n)^n (n=2，3，...)

Answer 1

在左边再乘一个1
LHS = 1 * (1+1/(n-1)) * (1+1/(n-1)) * ... * (1+1/(n-1)), 共n项
使用n项的均值不等式：
a1 * a2 * ... * an <= [(a1 + a2 + ... + an) / n]^n
所以
LHS < [ ( 1 + (n-1) * ( 1 + 1/(n-1) ) ) / n]^n
= [(n+1) / n]^n
= (1 + 1 / n)^n = RHS
均值不等式只有所有项相等时取等号，所以这里不能取等号

望采纳，谢谢

追问

如果用数学归纳法的话，该怎么解呢?

追答

我目前没想到用数学归纳法的证法 抱歉QwQ
个人认为，这题用数学归纳法会比较困难，因为将n/(n-1)，(n-1)/(n-2)这些数的方幂变形为(n+1)/n的方幂，并不是件容易的事。不是很建议用归纳。
这道题还有一个方法，就是直接把不等号两边作商，然后使用二项式定理展开，可以发现右边不仅比左边多一项，剩下每一项都比左边对应的某一项大。
不过均值不等式应该是这道题最简单的证法。

追问

好吧

Answer 2

就是证明(1+1/n)^n是单调递增的数列，这方面的内容我拍过专门介绍的视频，分享给你看一下吧。