Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,当 时, 若 则实数a的取值范围为（

Answer 1

函数f(x)=lg（a/(x²+1））定义域为R,
首先a/(x²+1)>0 a>0
f(x+1)=f(x)+f(1)
lg（a/((x+1)²+1））=lg（a/(x²+1））+lg（a/(1²+1））
=lg（a/(x²+1）*a/2）=lg（a²/2(x²+1））
a/((x+1)²+1）=a²/2(x²+1)
整理得 a(x+1)²+a=2(x²+1)
(a-2)x²+2ax+2a-2=0
只要这个方程有解 就说明存在x0,
还要多讨论一步 关于 二次项系数等于0的讨论
a-2=0的时候 x等于-1/2 存在这样的x 符合题意
当a不等于2的时候
只要满足这个方程的根的判别式大于等于0就可以了
4a^2-4(a-2)(2a-2)》0
a^2-(a-2)(2a-2)》0
a^2-(2a^2-2a-4a+4)》0
-a^2+6a -4》0
a^2-6a +4《0
3-根号5《a《3+根号5 包括2 所以最后取并集
就得到最后结果了：
3-根号5《a《3+根号5
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