Question

对于任意实数x，不等式|x+2|+|x-2|≥a恒成立．（1）求a的取值范围；（...

对于任意实数x，不等式|x+2|+|x-2|≥a恒成立． （1）求a的取值范围； （2）当a取最大值时，求f（x）=-x2-12ax+3的单调区间．

Answer 1

解：（1）∵|x+2|+|x-2|≥|（x+2）+（2-x）|=4，对于任意实数x，不等式|x+2|+|x-2|≥a恒成立，
∴a≤4；
（2）∵a的最大值为4，
∴f（x）=-x2-2x+3，
令g（x）=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，其对称轴方程为x=-1；
由g（x）≥0，得-3≤x≤1，
∴g（x）=-x2-2x+3在区间[-3，-1]单调递增，在区间[-1，1]单调递减，
由复合函数的单调性知，f（x）=-x2-12ax+3在区间[-3，-1]单调递增，在区间[-1，1]单调递减．
即f（x）=-x2-12ax+3的增区间为[-3，-1]，减区间为[-1，1]．