Question

数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…的通项公式怎么求啊？

Answer 1

通项公式的推导
　　斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
　　如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。那么这句话可以写成如下形式：
　　F(0)
=
0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)
(n≥2），
　　显然这是一个线性递推数列。
　　方法一：利用特征方程（线性代数解法）
　　线性递推数列的特征方程为：
　　X^2=X+1
　　解得
　　X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
　　则F(n)=C1*X1^n
+
C2*X2^n。
　　∵F(1)=F(2)=1。
　　∴C1*X1
+
C2*X2。
　　C1*X1^2
+
C2*X2^2。
　　解得C1=√5/5，C2=-√5/5。
　　∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）。
　　方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）
　　设常数r，s。
　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
　　则r+s=1，
-rs=1。
　　n≥3时，有。
　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
　　……
　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。
　　联立以上n-2个式子，得：
　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。
　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。
　　上式可化简得：
　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
　　那么：
　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
　　=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*F(n-2）。
　　=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+
r^3*F(n-3）。
　　……
　　=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+……+
r^(n-2)*s
+
r^(n-1)*F(1）。
　　=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+……+
r^(n-2)*s
+
r^(n-1）。
　　（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。
　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。
　　=(s^n
-
r^n)/(s-r）。
　　r+s=1，
-rs=1的一解为
s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。
　　则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}。
　　方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）
　　已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。
　　解
：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。
　　得α+β=1。
　　αβ=-1。
　　构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
　　所以。
　　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
　　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。
　　由式1，式2，可得。
　　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。
　　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。
　　将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}。