Question

曲线的偏导数是法向量

曲线的切向量T=[1,y'(x),z'(x)],曲面的法向量n=(F'x,F'y,F'z).
同样都是导数,为什么一个是切向量,另一个是法向量?
它俩怎么区分啊?
还有就是，斜率等于y对x的导数，和上面的有没有联系？

Answer 1

因为曲线定义用的参数方程,曲面定义用的不是.
对于参数方程定义的曲线[x(t),y(t),z(t)],其切向量是[x', y', z'],如果参数t就是x的话,就得到你的第一个式子.
你这个曲面定义用的是{(x,y,z) | F(x,y,z)=0},取这曲面上的一条参数曲线[x(t),y(t),z(t)],有
F(x(t),y(t),z(t))=0,两边求导,得到 [F'x, F'y, F'z] . [x', y', z'] = 0,内积为0,也就是两者垂直.
所以你的第二个式子是法向量,因为它和切向量垂直.
如果你也用参数方式定义曲面的话,比如 [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]来定义曲面,那么求导得到的也是切向量：[xu, yu, zu] 这三个偏导组成的向量,就是曲面的切向量,且它在由{v=常数}定义的曲面曲线上.