Question

急求一道数学题！

8．函数f（x） 的定义域为R，若f（x-1） 与f（x+1） 都是奇函数，则
A．f(x) 是偶函数 B．f(x) 是奇函数
C． f(x)=f（x+2） D． f（x+3）是奇函数

最好附带解答过程！谢谢

Answer 1

D
1由f(x+1)和f(x-1)都是奇函数得：
f(-x+1)=-f(x+1) .......(1)
f(-x-1)=-f(x-1) .......(2)
令t=x+1,则x=t-1 ,代入（1）和（2）并整理得
f(2-t)=-f(t) ......(3)
f(-t)=-f(t-2) .......(4)
由（4）得f(t)=-f(-t-2)代入（3）得
f(2-t)=f(-t-2)即f(2+t)=f(t-2)
可知4是函数f(t)的一个周期。
所以f(x+3)=f(x-1)是奇函数。

2只需通过特殊的函数来验证：比如
1.y=f(x)=cos兀x/2时，知f(x)是奇函数 、f(x)=f(x+2) 都错
2.y=f(x)=sin兀x时，知f(x)是偶函数 错。
由上述可得
1、f(x)是偶函数 错
2、f(x)是奇函数 错
3、f(x)=f(x+2) 错
4、f(x+3)是奇函数

Answer 2

A

Answer 3

A
可以把图形想象成周期是4的余弦图像，排除，可得A