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设P=x，Q=y，R=z，则P'x=Q'y=R'z=1。
添加∑的底面：z=0，取下侧，记为∑1。
记∑与∑1围成的空间区域为G。
用高斯公式得到
原式=∫∫∑…+∫∫∑1…-∫∫∑1…
=∫∫∫〔G〕3dv-∫∫∑1…
上式中第二个积分∫∫∑1…=0，
上式中第一个积分用先二重后定积分的方法得到
=3∫〔0到1〕dz∫∫〔D：x²+y²《1-z〕dxdy
=3∫〔0到1〕dz*D的面积
=3∫〔0到1〕【1-z】πdz
=3π/2。
其中第二个积分也可用柱面坐标计算得到。
添加∑的底面：z=0，取下侧，记为∑1。
记∑与∑1围成的空间区域为G。
用高斯公式得到
原式=∫∫∑…+∫∫∑1…-∫∫∑1…
=∫∫∫〔G〕3dv-∫∫∑1…
上式中第二个积分∫∫∑1…=0，
上式中第一个积分用先二重后定积分的方法得到
=3∫〔0到1〕dz∫∫〔D：x²+y²《1-z〕dxdy
=3∫〔0到1〕dz*D的面积
=3∫〔0到1〕【1-z】πdz
=3π/2。
其中第二个积分也可用柱面坐标计算得到。
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2024-10-28 广告
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