Question

若椭圆x^2/4+y^2/3=1内有一点P（1，-1），F是其右焦点，椭圆上一点M，使得MP+2MF值最小，则点M的坐标为？

答案是（（2√6）/3 .-1）

Answer 1

∵a²=4,b²=3 ∴c²=4-3=1===>c=1
e=c/a=1/2
右准线方程是 x=a²/c=4
作M到右准线L的垂线N，这样MF/MN=e=1/2，所以MN=2MF
这样MP+2MF就等于MP+MN，而P就定点，L为定直线，就变了点到直线的距离，肯定是垂线段最短，所以做P到L的垂线，与椭圆的交点就是所求的距离的值最小时，点M的坐标，这时PM//X轴，
所以将y=-1入代椭圆方程，解得 x=2√6/3 (负值在左边，舍去)
所以M点坐标是(2√6/3,-1)