Question

函数极大值点的充要条件

"连续函数f(x)在区间[a,b]上的极大值点是函数在该区间取得最大值的点"成立的充要条件是?
以上,求解答求证明.另外如果改为极小值点、最小值,结论应该一样吧?产生这个疑问是在学二项式定理的时候,有一类问题是求系数最大的项,设Pn表示系数,那么标准解答就是满足方程组Pn>Pn+1,Pn>Pn-1的n值.但这个式子解出的n表示的是函数f(n)=Pn的极大值点,极大值不一定是最大值,这里标准答案却直接把极大值当成了最大值.二者什么时候是等同的呢?

Answer 1

充要条件可以有好几个：
(1)当连续函数f(x)在区间[a,b]上只有一个极大值点时,若极大值大于两端点f(a),f(b)的值,则成立.
(2)当连续函数f(x)在区间[a,b]上有多个极大值点时,必须同时满足该极大值为该区间上所有极大值中最大的,且比端点f(a),f(b)的值都大.
换成极小、最小也成立.
二项式定理中,二项式系数只有一个极大值且没有极小值(该结论可以证明,较复杂),那么该极大值就是最大值了,可以画函数图象验证.