Question

问一道高中数学题。

函数f(x)的定义域为R。若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（ ）
A.f(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数 Cf(x)=f(x+2) Df(x+3)是奇函数
答案是D，为什么？

Answer 1

f(x+1)是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)；
f(x-1)是奇函数，所以f(-x-1)=-f(x-1)。
f(x+1)=-f(-x+1)==>f(x)=-f(-x+2)
f(x-1)=-f(-x-1)==>f(x)=-f(-x-2)
所以f(-x+2)=f(-x-2)，T=4
f(x+3)=f(x-1)=-f(-x-1)=-f(-x+3)
所以f(x+3)是奇函数。

Answer 2

f(x+1)与f(x-1)都是奇函数
得到f(x+1)=-f(-x+1)得f(x)=-f(-x-2)
f(x-1)=-f(-x-1)得f(x)=-f(-x+2)
得-f(-x+2)=-f(-x-2)即f(x)=f(x+4)
f(x-1)是奇函数,则f(x+3)=f(x-1+4)=f(x-1)是奇函数。
ABC是算不出来的