Question

x²+y²+ z²=1、求ƒƒ（x² +y²+ z²）ds

Answer 1

上面网友已经给出结果，其实就是单位球面的表面积。这个面积可以用二重积分计算，也可以用第一型曲面积分进行计算。从题目的表述方式上看，应该属于第一型曲面积分。而第一型曲面积分可以转化为二重积分进行计算，所以本质上有共通性。
z=z(x，y)=√(1-x²-y²)，（x，y）∈Dxy，而Dxy为单位圆所围成的区域。
z对x，y的两个偏导数分别为：z'x=-x/√(1-x²-y²)，z'y=-y/√(1-x²-y²)，则√[1+(z'x)²+(z'y)²]=1/√(1-x²-y²)，而f(x，y，z)=x²+y²+z²=1。于是（转化为极坐标并利用对称性）