Question

lim (x->0) [tan(tan x)-sin(sin x)]/(tan x -sin x)

Answer 1

这样
分母,我们可以证明
分母 = sinx/cosx-sinx =sinx(1/cosx-1)
=sinx(1-cosx)/cosx
分母是等价于 x³/2的
对分子我们做等价变形
分子 = (tan(tanx)-tanx) +(tanx -sinx) +(sinx -sin(sinx))
令 p1 = lim (tan(tanx)-tanx)/(tanx -sinx)
lim (tan(tanx)-tanx)/(x³/2）
再令 f(x)=tanx,
则p1的分子是 f(tanx)-f(x)=f'(c)(tanx -x)(这里用了中值定理,c在x与tanx之间)
所以有 当 x→0时,c→0,f'(c)=sec²c→1
所以p1 = lim (tanx-x)/ (x³/2)
=2/3
p2 = lim (tanx -sinx)/(tanx - sinx)=1
p3 = (sinx -sin(sinx))/(tanx-sinx)
=(sinx -sin(sinx))/(x³/2)
还是用p1的计算方法
得到p3= 1/3
所以原式=p1+p2+p3 =2