高等数学,这题怎么做?
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根据你提供的信息,将被积函数代入积分式中可得:
∫(csc^2(t) * cot(t)) dt
根据题目中的代换 x = csc(t),可以得到:
csc(t) = x
sin(t) = 1/x
cos(t) = √(1 - sin^2(t)) = √(1 - 1/x^2) = (x^2 - 1) / x^2
cot(t) = cos(t) / sin(t) = [(x^2 - 1) / x^2] / (1/x) = (x - x^(-1))
同时,由于 dx = -csc(t) * cot(t) dt,可以得到:
dt = -dx / (x * (x - x^(-1)))
将上述结果代入原积分式中,得到:
∫(csc^2(t) * cot(t)) dt = -∫(x / (x - x^(-1))) dx
= -∫(1 + x^(-1)) dx
= -x - ln|x| + C
其中,C 为积分常数。
最后,代入 x = csc(t) 的表达式,即可得到最终结果:
- csc(t) - ln|csc(t)| + C
即:
- csct - ln|csct| + C
因此,原式等于 - csct - ln|csct| + C。
∫(csc^2(t) * cot(t)) dt
根据题目中的代换 x = csc(t),可以得到:
csc(t) = x
sin(t) = 1/x
cos(t) = √(1 - sin^2(t)) = √(1 - 1/x^2) = (x^2 - 1) / x^2
cot(t) = cos(t) / sin(t) = [(x^2 - 1) / x^2] / (1/x) = (x - x^(-1))
同时,由于 dx = -csc(t) * cot(t) dt,可以得到:
dt = -dx / (x * (x - x^(-1)))
将上述结果代入原积分式中,得到:
∫(csc^2(t) * cot(t)) dt = -∫(x / (x - x^(-1))) dx
= -∫(1 + x^(-1)) dx
= -x - ln|x| + C
其中,C 为积分常数。
最后,代入 x = csc(t) 的表达式,即可得到最终结果:
- csc(t) - ln|csc(t)| + C
即:
- csct - ln|csct| + C
因此,原式等于 - csct - ln|csct| + C。
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