求教1道级数的问题
问题：为什么∑(x^n)=1/(1+x),其中求和符号下面是n=0，上面是正无穷，(-1<x<1),它的计算过程是怎样的?...
问题：为什么∑(x^n)=1/(1+x),其中求和符号下面是n=0，上面是正无穷，(-1<x<1),它的计算过程是怎样的?
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令A(x) = lim(k->+∞) ∑(n从0到k) (x^n)
xA(x) = x * lim(k->+∞) ∑(n从0到k) (x^n)
= lim(k->+∞) ∑(n从0到k) (x^(n+1))
A(x) - xA(x)
=lim(k->+∞) ( x^0 - x^(k+1) )
= 1
A(x) = 1 / ( 1 - x )
即∑(n从0到+∞) (x^n) = 1 / ( 1 - x )
令A(x) = lim(k->+∞) ∑(n从0到k) (x^n)
xA(x) = x * lim(k->+∞) ∑(n从0到k) (x^n)
= lim(k->+∞) ∑(n从0到k) (x^(n+1))
A(x) - xA(x)
=lim(k->+∞) ( x^0 - x^(k+1) )
= 1
A(x) = 1 / ( 1 - x )
即∑(n从0到+∞) (x^n) = 1 / ( 1 - x )
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