Question

微分方程求解，高数？

Answer 1

y'''+y''+y'+y=0的特征方程是k^3+k^3+k+1=0,
解得k=-1,土i,
所以y'''+y''+y'+y=0的通解是y=c1e^(-x)+c2cosx+c3sinx.
(1/4)e^x是y'''+y''+y'+y=e^x的特解，
所以y'''+y''+y'+y=e^x的通解是y=c1e^(-x)+c2cosx+c3sinx+（1/4）e^x.
y'=-c1e^(-x)-c2sinx+c3cosx+(1/4)e^x,
y''=c1e^(-x)-c2cosx-c3sinx+(1/4)e^x,
y(0)=1,y'(0)=0,y''(0)=0,
所以c1+c2+1/4=1,
-c1+c3+1/4=0
c1-c2+1/4=0.
化简得c1+c2=3/4,
...........c1.......-c3=1/4,
...........c1-c2=-1/4.
解得c1=1/4,c2=1/2,c3=0,
所以所求的解是y=(1/4)e^(-x)+(1/2)cosx+(1/4)e^x.

Answer 2

y(0)=1,y'(0)=0,y''(0)=0
y'''+y''+y'+y=e^x
The aux. equation
p^3+p^2+p+1=0
(p+1)(p^2+1)=0
p=-1 or i or -i
let
yg=Ae^(-x) + Bsinx +Ccosx
yp=De^x
yp'''+yp''+yp'+yp=e^x
4D =1
D=1/4
ie yp=(1/4)e^x
通解
y=yg+yp=Ae^(-x) + Bsinx +Ccosx +(1/4)e^x
y(0)=1
A+C+(1/4)=1
A+C=3/4 (1)
y'=-Ae^(-x) + Bcosx -Csinx +(1/4)e^x
y'(0)=0
-A+B+1/4 =0
-A+B= -1/4 (2)
y''=Ae^(-x) - Bsinx -Ccosx +(1/4)e^x
y''(0)=0

A-C+1/4 =0
A-C =-1/4 (3)
(1)+(3)
2A=1/2
A=1/4
from (3)
A-C =-1/4
1/4-C =-1/4
C=1/2
from (2)
-A+B= -1/4
-1/4 +B = -1/4
B=0
ie
y=Ae^(-x) + Bsinx +Ccosx +(1/4)e^x =(1/4)e^(-x) + (1/2)cosx +(1/4)e^x

Answer 3

高等数学里面有微分方程求解内容