Question

已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=（n+2）/3an。求{an}的通项公式。设{1/an

}的前n项和为Tn，试比较Tn与2的大小关系，并说明理由。

Answer 1

1)a(n
1)=s(n
1)-sn
∴n[s(n
1)-sn]=(n
2)sn
∴ns(n
1)=nsn
(n
2)sn=(2n
2)sn
两边同除n(n
1)得
s(n
1)/(n
1)=2sn/n,s1/1=a1/1=a1=1
∴{sn/n}是首项为1,公比为2的等比数列
2)sn/n=1×2^(n-1)=2^(n-1)
∴sn=n×2^(n-1)
n>1时,an=sn-s(n-1)=n×2^(n-1)-(n-1)×2^(n-2)=(2n-n
1)×2^(n-2)=(n
1)×2^(n-2)
n=1是也符合
∴an=(n
1)×2^(n-2)

Answer 2

证明：a1=1=1*2/2
a2=3=2*3/2,
a3=6=3*4/2,
对n=1,2,3时都正确（实际上只要验证n=1即可）
设n<k时成立,即当n<k时
an=n(n+1)/2,
则当n=k时：
Sk=a1+a2+a3+.....+a(k-1)+ak=[(k+2)/3]ak
1*2/2+2*3/2+3*4/2+.....+(k-1)k+ak=[(k+2)/3]ak
(k-1)k(k+1)/(1*2*3)+ak=[(k+2)/3]ak
(k-1)k(k+1)/(1*2*3)=[(k+2)/3-1]ak=[(k-1)/3]ak
ak=k(k+1)/2.
即当n=k时成立，故an=n(n+1)/2.
第二问根据第一问求出的an代入，并化简，得与和2比较，你自己做了