Question

高一数学均值不等式

（1）设 x,y 满足x+4y=40 lgx+lgy 的最大值是多少
（2）若x·根号（1-y²）+y·根号（1-x²）=1 求 x+y的最大值和最小值

Answer 1

1、lgx+lgy=lg(x*y),x与y恒大于0
x+4y=40≥ 2根号（x*4y）,于是x*y≤100（当且仅当x=4y=20时取等号）
于是lgx+lgy=lg(x*y)≤lg100=2，从而……
2、易知-1≤x≤1,-1≤y≤1可用三角换元法，即设x=cosα，y=cosβ，α，β∈（0，π），于是x·根号（1-y²）+y·根号（1-x²）=cosα*sinβ+cosβ*sinα=sin(α+β)=1,而α+β∈（0，2π），故α+β=π/2，此时α∈（0，π/2），
x+y=cosα+cosβ=cosα+sinα=根号(2)*sin(α+π/4)，而α+π/4∈（π/4，3π/4），
故当α+π/4=π/4或3π/4时，x+y有最小值1，
当α+π/4=π/2时，x+y有最大值根号（2）
注：方法不唯一，若你是高二学生，应该不难理解！

Answer 2

1）、lgx+lgy=lgxy=l【（y（40-4y）】=lg【-4（y-5）^2+100]

所当y=5时，lgx+lgy的最大值为2

Answer 3

(1)lgx+lgy=lg（x*y）=lg（y（40-4y）=lg【-4（y-5）^2+100]
所当y=5时，lgx+lgy的最大值为2
(2)x+y的最大值=√2
x+y的最小值=1

Answer 4

（1）x=y=8时，有最大值2lg8