高一数学均值不等式
(1)设x,y满足x+4y=40lgx+lgy的最大值是多少(2)若x·根号(1-y²)+y·根号(1-x²)=1求x+y的最大值和最小值...
(1)设 x,y 满足x+4y=40 lgx+lgy 的最大值是多少
(2)若x·根号(1-y²)+y·根号(1-x²)=1 求 x+y的最大值和最小值 展开
(2)若x·根号(1-y²)+y·根号(1-x²)=1 求 x+y的最大值和最小值 展开
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1、lgx+lgy=lg(x*y),x与y恒大于0
x+4y=40≥ 2根号(x*4y),于是x*y≤100(当且仅当x=4y=20时取等号)
于是lgx+lgy=lg(x*y)≤lg100=2,从而……
2、易知-1≤x≤1,-1≤y≤1可用三角换元法,即设x=cosα,y=cosβ,α,β∈(0,π),于是x·根号(1-y²)+y·根号(1-x²)=cosα*sinβ+cosβ*sinα=sin(α+β)=1,而α+β∈(0,2π),故α+β=π/2,此时α∈(0,π/2),
x+y=cosα+cosβ=cosα+sinα=根号(2)*sin(α+π/4),而α+π/4∈(π/4,3π/4),
故当α+π/4=π/4或3π/4时,x+y有最小值1,
当α+π/4=π/2时,x+y有最大值根号(2)
注:方法不唯一,若你是高二学生,应该不难理解!
x+4y=40≥ 2根号(x*4y),于是x*y≤100(当且仅当x=4y=20时取等号)
于是lgx+lgy=lg(x*y)≤lg100=2,从而……
2、易知-1≤x≤1,-1≤y≤1可用三角换元法,即设x=cosα,y=cosβ,α,β∈(0,π),于是x·根号(1-y²)+y·根号(1-x²)=cosα*sinβ+cosβ*sinα=sin(α+β)=1,而α+β∈(0,2π),故α+β=π/2,此时α∈(0,π/2),
x+y=cosα+cosβ=cosα+sinα=根号(2)*sin(α+π/4),而α+π/4∈(π/4,3π/4),
故当α+π/4=π/4或3π/4时,x+y有最小值1,
当α+π/4=π/2时,x+y有最大值根号(2)
注:方法不唯一,若你是高二学生,应该不难理解!
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1)、lgx+lgy=lgxy=l【(y(40-4y)】=lg【-4(y-5)^2+100]
所当y=5时,lgx+lgy的最大值为2
所当y=5时,lgx+lgy的最大值为2
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(1)lgx+lgy=lg(x*y)=lg(y(40-4y)=lg【-4(y-5)^2+100]
所当y=5时,lgx+lgy的最大值为2
(2)x+y的最大值=√2
x+y的最小值=1
所当y=5时,lgx+lgy的最大值为2
(2)x+y的最大值=√2
x+y的最小值=1
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(1)x=y=8时,有最大值2lg8
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