Question

求高一数学题 有关函数的

设f(x)是定义在R上的偶函数，起图像关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0，1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2)
(1) 设f(1)=2,求f（1/2），f（1/4）
（2）证明f（x）是周期函数
（3）记an=f（2n+1/2n），求an
各位大哥 要具体过程哈 辛苦啦

Answer 1

由题目中的"对任意X1，X2属于[0,1/2],都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)"得到:
令x1=x2=x/2 x/2∈[0,1/2]所以x∈[0,1]
f(x)=f(x/2)*f(x/2)=[f(x/2)]^2>=0 x∈[0,1]
f(x)>=0
所以,负的舍去.

(1)f(1)=f(1/2)*f(1/2)=2
可知f(1/2)=根号2
同理f(1/4)=2^(1/4)
(2)由x=1是对称轴知,
f(x)=f(2-x)
又f(x)是偶函数,
f(2-x)=f(x-2)
所以f(x)=f(x-2)
等价于f(x)=f(x+2)
又定义域为R,
所以f(x)为周期函数.
3)
an=f（2n+1/2n)
根据第二问知道，f（x）的一个周期是2
那么an=f（2n+1/2n)=f(1/2n)
f(1/2(n-1))=f(1/2n)*f(1/2n)=f(1/2n)^2
……
f(1/2)=f(1/4)^2=
f(1)=f(1/2)^2

f(1)=f(1/2*2)^4=f(1/2n)^2n= (an) ^2n
an=f（1）^（1/2n）=2^(1/2n)

Answer 2

提示：
关于 x=1 对称，则 f (1-x)=f(1+x); 偶函数，f(x)=f(-x)

(1)
f(1/2 + 1/2) = f(1/2)*f(1/2) = f(1) = 2
f(1/2) = 2^(1/2)

f(1/2) = f(1/4 + 1/4) = f(1/4)*f(1/4) = 2^(1/2)
f(1/4) = 2^(1/4)

(2) 对某一特定 x0, 令 x = - 1 - x0
f(1-x)=f(1+x)
f(2+x0)=f(-x0)=f(x0)
可见，f(x)是周期为2的函数

Answer 3

由题意，
(1)对任意x1,x2∈[0，1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),令x1=x2=x,得到f(x)>0
令x1=x2=1/2, f(x1+x2)=f(1)=f(x1)*f(x2)=2,f(1/2)=根号2，同理，f(1/4)=4次根号下2
(2)偶函数说明f(x)=f(-x);
关于x=1对称，说明f(1-x)=f(1+x)，
令x=1+t,f(1+x)=f(2+t)=f(1-x)=f(-t)=f(t)，得到f(x)是以周期为2的周期函数
(3)an=f(2n+1/2n)=f(1/2n),由(1),得an=f(1/2n)=2^[1/(2^n)]