一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求此最小数是几?
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根据题意,可以列出以下方程组:
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 4 (mod 6)
x ≡ 1 (mod 7)
将每个同余方程化简:
x = 5a + 3
x = 6b + 4
x = 7c + 1
将第一个方程代入第二个方程和第三个方程中,可以得到:
5a + 3 = 6b + 4
5a + 3 = 7c + 1
将第一个方程化简,得到:
a = 2b - 1/3 (式1)
将第一个方程代入第三个方程中,得到:
5a + 3 = 7c + 1
5a = 7c - 2
a = (7c - 2) / 5
将a的表达式代入式1中,得到:
2b - 1/3 = (7c - 2) / 5
10b - 3 = 7c - 2
10b = 7c + 1
因为b和c都是整数,所以最小的b和c分别为1和1,代入上式即可得到:
x = 5a + 3 = 5(2b - 1/3) + 3 = 10(1) - 2 = 8
因此,最小的数是8。
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 4 (mod 6)
x ≡ 1 (mod 7)
将每个同余方程化简:
x = 5a + 3
x = 6b + 4
x = 7c + 1
将第一个方程代入第二个方程和第三个方程中,可以得到:
5a + 3 = 6b + 4
5a + 3 = 7c + 1
将第一个方程化简,得到:
a = 2b - 1/3 (式1)
将第一个方程代入第三个方程中,得到:
5a + 3 = 7c + 1
5a = 7c - 2
a = (7c - 2) / 5
将a的表达式代入式1中,得到:
2b - 1/3 = (7c - 2) / 5
10b - 3 = 7c - 2
10b = 7c + 1
因为b和c都是整数,所以最小的b和c分别为1和1,代入上式即可得到:
x = 5a + 3 = 5(2b - 1/3) + 3 = 10(1) - 2 = 8
因此,最小的数是8。
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