Question

初中数学奥赛题

1、已知30^x=2010，67^y=2010，则2/x+2/y=——
2、已知ab/a+b=4，ac/a+c=5，bc/b+c=6。求17a+13b-7c的值
3、三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点，连接AO并延长交BC与D，连接CO并延长交AB与F,求四边形BDOF的面积

Answer 1

由题意得:(a+b)/ab=1/4,(a+c)/ac=1/5,(b+c)/bc=1/6.

即:1/b+1/a=1/4,1/c+1/a=1/5,1/c+1/b=1/6

解得:a=120/17,b=120/13,c=120/7

则:17a+13b-7c=120
设BD分别交AG和AF于P和Q，BE分别交AG和AF于P和Q
如图，△ABC被分为9个部分，设△ABD里的三个部分的面积从左到右分别为a、b、c，△BDE里的三个部分的面积从左到右分别为d、e、f，△BCE里的三个部分的面积从左到右分别为g、h、i，阴影部分的面积就是h。
显然有
a+b+c=1/3
d+e+f=1/3
g+h+i=1/3
a+d+g=1/3
b+e+h=1/3
c+f+i=1/3

AG交△BCD于A、M、G，由梅涅劳斯定理，
BM/MD * DA/AC * CG/GB = 1
BM/MD * 1/3 * 2/1 = 1
BM/MD=3/2
a/(b+c)=BM/MD=3/2
又a+b+c=1/3，所以b+c=1/3 - a
所以a/(1/3 - a)=3/2
a=1/5,

AF交△BCD于A、N、F，由梅涅劳斯定理，
BN/ND * DA/AC * CF/FB = 1
BN/ND * 1/3 * 1/2 = 1
BN/ND=6
(a+b)/c=6
(1/3 - c) / c = 6
c=1/21

所以，
b = 1/3 - a - c = 1/3 - 1/5 - 1/21 = 3/35

AG交△BCE于A、P、G，由梅涅劳斯定理，
BP/PE * EA/AC * CG/GB = 1
BP/PE * 2/3 * 2/1 = 1
BP/PE = 3/4
(a+d)/(b+c+e+f)=3/4
(a+d)/(1/3 - a + 1/3 - d) = 3/4
a+d=2/7
d = 2/7 - 1/5 = 3/35

AF交△BCE于A、Q、F，由梅涅劳斯定理，
BQ/QE * EA/AC * CF/FB = 1
BQ/QE * 2/3 * 1/2 = 1
BQ/QE = 3
(a+b+d+e)/(c+f) = 3
(1/3 - c + 1/3 - f)/(c+f) = 3
c+f=1/6
f = 1/6 - 1/21 = 5/42

所以，
e = 1/3 - d - f = 1/3 - 3/35 - 5/42 = 9/70

所以，
阴影部分的面积h
= 1/3 - b - e
= 1/3 - 3/35 - 9/70
= 5/42

Answer 2

1、 2010^(1/x)=30,2010^(1/y)=67
两相乘，1/x+1/y=1 2/x+2/y=2
2、