Question

矩阵的初等行变换是什么？

Answer 1

矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式。

在线性代数中，矩阵的初等行变换是指以下三种变换类型 ：

(1) 交换矩阵的两行（对调i，j，两行记为ri，rj）。

(2) 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）。

(3) 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。

类似地，把以上的“行”改为“列”便得到矩阵初等列变换的定义，把对应的记号“r”换为“c”。

若矩阵A经过有限次的初等行变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B行等价；若矩阵A经过有限次的初等列变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B列等价；若矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B等价。

矩阵等价性质：

（1）反身性 A~A。

（2）对称性 若A~B，则B~A。

（3）传递性 若A~B，B~C，则A~C。

初等矩阵性质：

1、设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，其结果等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，其结果等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。反之亦然。

2、方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，......Pn，使得A=P1P2......Pn。

3、m×n矩阵A与B等价当且仅当存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q使得B=PAQ。