Question

二重积分求体积。

我第一部就看不懂，请问下图中第一部是怎么写出来的？

Answer 1

建议从三重积分方面考虑，因为这正是计算体积

下面的曲线是积分下限，上面的曲线是积分上限

化简对z的积分后就是两个曲线相减的被积函数

Answer 2

z = x^2+y^2, 2-z = x^2+y^2 联立，消去 z，
得两曲面交线在 xOy 坐标平面的投影， 即积分域 D：x^2+y^2 = 1.
化为极坐标，得所求体积
V = ∫∫<D>[(2-x^2+y^2)-(x^2+y^2)]dxdy
= ∫<0, 2π>dt∫<0, 1>(2-2r^2)rdr
= 2π[r^2-(1/2)r^4]<0, 1> = π

追问

为什么要相减？

追答

求两曲面所围立体体积公式就是上曲面减去下曲面再积分

Answer 3

二重积分中dxdy表示面积微元，而体积=底面积×高，所以当被积函数f(x,y)表示空间区域的高时，这个二重积分的几何意义即为曲顶柱体的体积。
特别地，当被积函数f(x,y)=1，体积=底面积×高=底面积×1=底面积，那么其数值上恰好等于积分区域的面积，所以二重积分也能计算面积。