图为信息科技(深圳)有限公司
2021-01-25 广告
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z = x^2+y^2, 2-z = x^2+y^2 联立,消去 z,
得两曲面交线在 xOy 坐标平面的投影, 即积分域 D:x^2+y^2 = 1.
化为极坐标,得所求体积
V = ∫∫<D>[(2-x^2+y^2)-(x^2+y^2)]dxdy
= ∫<0, 2π>dt∫<0, 1>(2-2r^2)rdr
= 2π[r^2-(1/2)r^4]<0, 1> = π
得两曲面交线在 xOy 坐标平面的投影, 即积分域 D:x^2+y^2 = 1.
化为极坐标,得所求体积
V = ∫∫<D>[(2-x^2+y^2)-(x^2+y^2)]dxdy
= ∫<0, 2π>dt∫<0, 1>(2-2r^2)rdr
= 2π[r^2-(1/2)r^4]<0, 1> = π
追问
为什么要相减?
追答
求两曲面所围立体体积公式就是上曲面减去下曲面再积分
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二重积分中dxdy表示面积微元,而体积=底面积×高,所以当被积函数f(x,y)表示空间区域的高时,这个二重积分的几何意义即为曲顶柱体的体积。
特别地,当被积函数f(x,y)=1,体积=底面积×高=底面积×1=底面积,那么其数值上恰好等于积分区域的面积,所以二重积分也能计算面积。
特别地,当被积函数f(x,y)=1,体积=底面积×高=底面积×1=底面积,那么其数值上恰好等于积分区域的面积,所以二重积分也能计算面积。
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