Question

一道有关椭圆的数学题。

点A.B分别是椭圆(x^2/36)+(y^2/20)=1长轴的左右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于第一象限，PA垂直PF。（1）求点P坐标。（2）设M是长轴AB上的一点，M到直线AP等于|MB|求椭圆上点到点M的距离的最小值。 请写出详细的过程和答案。谢谢！

Answer 1

首先可由椭圆方程得到a=6，b=2√5，从而c=4，c/a=2/3，右准线x=a^2/c=9
(1)设P坐标为(x,y)，则P到右准线距离为 9-x ，P到F距离为2(9-x)/3，过P作垂线交AB于Q，则QF=6-x，又AF=6+4=10，根据三角形PQF与APF相似，有QF/PF=PF/AF,解得x=3/2,带回椭圆方程，y=(5√3)/2，
即P坐标为(3/2,(5√3)/2)
(2)设M坐标为(x',0),M到AP的距离l=MB，在直角三角形APF中有l/PF=AM/AF,由上一问结果知PF=5,AF=10,又AM=x'+6，有l/5=(x'+6)/10,且l=MB=6-x’，联立解得x‘=2 ，若设椭圆上某点坐标为(x,y)，则距离d=√((x-2)^2+y^2),可化简为求d^2=(x-2)^2+y^2的最小值，由椭圆方程得y^2=20(1-x^2/36),带入得d^2=(x-2)^2+20(1-x^2/36),化简得9d^2=4(x-9/2)^2+135,故当x=9/2时,d^2有最小值15,即d最小值为√15