Question

关于不等式两侧同时求导

已知：

那么：
是否成立？
笔误写错了，limx->0





Answer 1

　　不成立。如
　　　f(x) = x² < x = g(x)，0<x<1，
但
　　　f'(x) = 2x > 1 = g'(x)，1/2<x<1。

追问

但是当x趋向于0的时候不等式成立。。

追答

这个有啥意义？要达到什么目的？

追问

突然觉得好像很简单就能证明。

因为之前遇到一道好像是要证连续的题，然后求导很复杂，也不好化简，但是可以很显然地看出它绝对值小于一个x的幂函数，所以就可以依此证明它在该点上的导函数小于x幂函数的导函数

追答

你的极限的两个等号都是不能成立的。特别要注意有绝对值的函数含有不可导点的，不可随意求导；其次第二个极限是一个二重极限，但你把它当二次极限处理了，这是不允许的。

追问

如果加两条规定，1、函数定义域为(0,+∞)，2、当函数不连续时，单调增时视为导函数为正无穷，单调减时视为导函数为负无穷
这样，不可导的就只剩下与两侧都不连续的点了，而这种情况在令x趋向于0时是不会发生的。。吧。。
那么能找到一个上式的反例么？

追答

真是执着。连续的函数都会有不可导点，更何况不连续的函数。我只能说你的证明没道理，根本就不是证明。

追问

证明或许没有道理，但是现在的情况是既无证明又无反例。所以，我希望要么完善证明，要么找出反例

追答

不知道你提这个问题有何意义？能介绍一下吗？否则这个讨论可能是无意义的，没必要浪费口舌。

追问

就是我之前说的，
之前遇到一道好像是要证连续的题，然后求导很复杂，也不好化简，但是可以很显然地看出它绝对值小于一个x的幂函数，所以就可以依此证明它在该点上的导函数小于x幂函数的导函数

追答

我举的例子：
　　　f(x) = x² 1 = g'(x)，1/2<x<1。
已经说明你的命题 “ 它绝对值小于一个x的幂函数，所以就可以依此证明它在该点上的导函数小于x幂函数的导函数” 是不成立的，这还不够吗？

追问

哦，原来你说的是x=1
但是x处于右端点时无法求出右侧极限……这种情况与x不处于端点时好像有点区别

追答

这个例子
　　　f(x) = x² 1 = g'(x)，1/2<x<1。
是要说明你的命题 “ 它绝对值小于一个x的幂函数，所以就可以依此证明它在该点上的导函数小于x幂函数的导函数” 是不成立的！和哪个点没关系。

追问

解决这个问题很简单，加一条规定x不为右端点就可以了。
这样还有反例么？

追答

请注意，两个不等式的方向是相反的，问题不在端点上。