Question

求极限第12题

划线部分是怎么求出下一步的 根据f'0=1吗 f'（x）为什么没了

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Answer 1

1.关于12题求极限，划线部分怎么求出下一步，求的过程见上图。

2.求极限12题的划线部分，是利用乘积的极限公式，看成两个函数乘积的极限。

3.利用导函数连续，将f'(0)代入，这样f'(x)就没有了。

具体的1题划线部分方法及说明见上。

Answer 2

(12)
f(0)=0, f'(0) =1
To find : lim(x->0) ∫(0->x) lncos(x-t) dt /{ √(1+[f(x)]^2) -1 }
solution:
let
u=x-t
du=-dt
t=0, u=x
t=x, u=0
∫(0->x) lncos(x-t) dt
=∫(x->0) lncosu (-du)
=∫(0->x) lncosu du
=∫(0->x) lncost dt
lim(x->0) ∫(0->x) lncos(x-t) dt /{ √(1+[f(x)]^2) -1 }
=lim(x->0) ∫(0->x) lncost dt /{ √(1+[f(x)]^2) -1 }
=lim(x->0) ∫(0->x) lncost dt /{ (1/2)[f(x)]^2 }
洛必达
=lim(x->0) lncosx /[ f(x).f'(x) ]
=lim(x->0) ln( 1- (1/2)x^2) /[ f(x).f'(x) ]
=lim(x->0) - (1/2)x^2 /[ f(x).f'(x) ]

=lim(x->0) - (1/2)x /{ [f(x)/x].f'(x) }
={1/[f'(0)]^2} .lim(x->0) - (1/2)x
=0

Answer 3

是的 极限中非零乘积因子可以先算出来 后面用ln（1+x）等价于x 就很容易得出
另外这个答案不是很好 其实可以利用导数的为一来去确定fx趋向于0时等价于x 这样拿出来就有 二分之一的fx平方 直接就可以得出-1