Question

[考研 线性代数]设三元二次型f(x1,x2,x3)=x^TAx

设三元二次型f(x1,x2,x3)=x^TAx的矩阵A满足A^2+2A=O，且a1=（0，1，1）^T是齐次方程组Ax=0的基础解系。求二次型f的表达式。

Answer 1

矩阵A满足A^2+2A=O,则矩阵A的特征值只能是0和-2，而根据Ax=0的基础解系的结构是一个向量，则A的秩是2，因此矩阵A的特征值只能是-2，-2，0，则二次型表达式f(x1，x2，x3)= -2*x1^2-2*x2^2。

线性代数

研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。

线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

Answer 2

矩阵A满足A^2+2A=O,则矩阵A的特征值只能是0和-2，而根据Ax=0的基础解系的结构是一个向量，则A的秩是2，因此矩阵A的特征值只能是-2，-2，0，则二次型表达式f(x1,x2,x3)= -2*x1^2-2*x2^2

追问

你好，题目需要求的是二次型表达式，不是其标准型。麻烦你在帮忙想想，谢谢了。

追答

根据二次型矩阵的性质
令A=a d e
d b f
e f c
a+b+c=-2-2+0=-4
A*a1=0
====>d+e=0,b+f=0,f+c=0
====>-f=b=c，e=-d
那么得A=-4-2b d -d
d b -b
-d -b b
又|A|=0,且A的秩为2，特征值为-2，-2，0
xE-A=x+4+2b -d +d
-d x-b x+b
+d x+b x-b
当x=-2
2+2b -d d
-d -2-b -2+b
d -2+b -2-b
2+2b 0 0
-d 0 0=====>秩为1，只有b=-1，d=0
0 -4 -4
当x=0
4+2b -d +d
-d -b +b
+d +b -b
4+2b -d d
-d -b b=====>秩为2,d^2+2b^2+4b/=0
0 0 0
综上a=-2,b=c=-1,d=e=0,f=1
A=-2 0 0
0 -1 1
0 1 -1
f(x1,x2,x3)=-2x1^2-x2^2-x3^2+2x2x3，
题目真的不简单，哪里看到的题？

追问

你答案是对的，但解题过程过于复杂（可以根据特征值对应特征向量正交求出其他两个特征向量，再由A(a1,a2,a3)=(0,-2a2,-2a3)求出A）。我昨天由于A的行列式计算少了个负号，导致结果和答案对不上、今天又算了一遍找到了错因。感谢你的耐心解答。本题出自《线性代数辅导讲义》

追答

恩，忘记不同特征值之间特性了，
但这种方法还是掌握一下，最近这几年还是有几道这样需要直接写矩阵的情况！

Answer 3

特征向量怎么求