Question

急急急！跪求高中数学习题（含答案）！

1、函数导数

2、概率（包括分布列）
3、极坐标参数方程
三类各十五道，要有详细答案。跪求，合适的话再加50悬赏。谢谢，急用！
不是选择填空……要简答题……谢谢了！

Answer 1

一、选择题
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
[答案]　C
[解析]　导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.
2．函数y＝1＋3x－x3有(　　)
A．极小值－2，极大值2
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－1，极大值1
D．极小值－1，极大值3
[答案]　D
[解析]　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1
当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，
当－1<x<1时，y′>0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，
当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，
∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.
当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.
3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不为0
[答案]　C
[解析]　如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．
4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．
5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　B
[解析]　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0<x<2，∴①②错误．
6．函数f(x)＝x＋1x的极值情况是(　　)
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值
B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝1－1x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，
函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，
∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.
7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)

A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　A
[解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(　　)
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
[答案]　D
[解析]　∵y′＝1－11＋x2(x2＋1)′
＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1
令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，
当x<1时，y′>0，
∴函数无极值，故应选D.
9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　)
A．极大值为427，极小值为0
B．极大值为0，极小值为427
C．极大值为0，极小值为－427
D．极大值为－427，极小值为0
[答案]　A
[解析]　由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①
f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②
由①②得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1
＝(3x－1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f(1)＝0.
10．下列函数中，x＝0是极值点的是(　　)
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tanx－x D．y＝1x
[答案]　B
[解析]　y＝cos2x＝1＋cos2x2，y′＝－sin2x，
x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，
∴x＝0是函数的极大值点．
二、填空题
11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．
[答案]　1 －1
[解析]　y′＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，
令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，
∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.
12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．
[答案]　a＋42　a－42
[解析]　y′＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，
令y′>0，得x>2或x<－2，
令y′<0，得－2<x<2，
∴当x＝－2时取极大值a＋42，
当x＝2时取极小值a－42.
13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.
[答案]　－3 －9
[解析]　y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有

14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
[答案]　(－2,2)
[解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，
可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，
y＝f(x)的大致图象如图
观察图象得－2<a<2时恰有三个不同的公共点．
三、解答题
15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)写出函数f(x)的递减区间；
(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．
[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 增 极大值
f(－1) 减 极小值
f(3) 增
(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；
(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.
16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．
[解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有

又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，

此时函数的表达式为f(x)＝12x3－32x.
∴f′(x)＝32x2－32.
令f′(x)＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x)  极大
值1  极小
值－1 
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.
17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．
(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．
[解析]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，
f′(1)＝f′(－1)＝0，即
解得a＝1，b＝0.
∴f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故
f(x)在(－∞，－1)上是增函数，
f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故
f(x)在(－1,1)上是减函数．
∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．
(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．
设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.
∵f′(x0)＝3(x20－1)，故切线的方程为
y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
注意到点A(0,16)在切线上，有
16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．
化简得x30＝－8，解得x0＝－2.
∴切点为M(－2，－2)，
切线方程为9x－y＋16＝0.
18．(2010•北京文，18)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
[解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用．
由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.

(1)当a＝3时，由(*)式得 ，
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)
解 得a∈[1,9]，
即a的取值范围[1,9]．

一个袋子中装有大小形状相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4,的4个白球，从中任意取出3个球。
1）求取出的3个球的颜色相同且编号是三个连续整数的概率
2）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率
3）记X为取出的3个球中编号是三个连续整数的概率
解(1)

从9个球中任取3个的组合有：C(9,3)

从5个红球中取出3个连续整数的组合有：123，234，345，共3种

从4个白球中取出3个连续整数的组合有：123，234，共2种

所以：取出的3个球的颜色相同且编号是三个连续整数的组合有：5种

所以，取出的3个球的颜色相同且编号是三个连续整数的概率=5/C(9,3)=5/84

(2)

取出的3个球恰有2个1的组合有7中，另外还有两个2，两个3，两个4的情况

所以：取出的3个球中恰有2个球编号相同的组合有：4*7=28种

所以：取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率=28/C(9,3)=1/3

(3)

我们来求：取出的3个球的颜色不同，但编号是三个连续整数的组合数

对于123，我们可以在红球中取两个，再在白球中取一个，它的组合有：C(3,2)=3种

也可以可以在白球中取两个，再在红球中取一个，它的组合有：C(3,2)=3种

所以，对于123，总共的组合有：3+3=6种

对于234，同理，总共的组合有：6种

对于345，可以是白球中取3，4，红球中取5；或者可以是白球中取3，红球中取4，5；

或者可以是白球中取4，红球中取3，5；它的组合有：3种

所以，取出的3个球的颜色不同，但编号是三个连续整数的组合有：6+6+3=15种

而：取出的3个球的颜色相同且编号是三个连续整数的组合有：5种

所以：取出的3个球中编号是三个连续整数的组合有：15+5=20种

所以：取出的3个球中编号是三个连续整数的概率x=20/C(9.3)=5/21

1．已知极坐标平面内的点P2，－5π3，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分
别为 (　　)
A.2，π3，(1，3) B.2，－π3，(1，－3)
C.2，2π3，(－1，3) D.2，－2π3，(－1，－3)
解析：点P2，－5π3关于极点的对称点为2，－5π3＋π，
即2，－2π3，且x＝2cos－2π3＝－2cosπ3＝－1，
y＝2sin－2π3＝－2sinπ3＝－3，所以选D.
答案：D
2．(2009•珠海模拟)圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为 (　　)
A.22 B.2 C．2 D．22
解析：

圆ρ＝4cos θ的圆心C(2,0)，如图，|OC|＝2，在Rt△COD中，∠ODC＝π2，
∠COD＝π4，∴|CD|＝2.
即圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为2.
答案：B
3．已知直线l的参数方程为x＝－1－22ty＝2＋22t(t为参数)，则直线l的斜率为 (　　)
A．1 B．－1 C.22 D．－22
解析：直线l的参数方程可化为x＝－1＋tcos 3π4y＝2＋tsin 3π4，故直线的斜率为tan 3π4＝
－1.
答案：B
4．直线3x－4y－9＝0与圆：x＝2cos θy＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是 (　　)
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但不过圆心
解析：圆的普通方程为x2＋y2＝4，∴圆心坐标为(0,0)，半径r＝2，点(0,0)到直线3x
－4y－9＝0的距离为d＝|－9|32＋42＝95＜2，∴直线与圆相交，而(0,0)点不在直线上，
故选D.
答案：D
5．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M3，π3，在直线OM上与点M的距离为4
的点的极坐标为________．
解析：

如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝π3，在直线OM上取点P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，
∠xOP＝π3，∠xOQ＝4π3，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝
3＋1＝4.
答案：7，π3或1，4π3
6．已知极坐标系中，极点为O，将点A4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B，且|OA|＝|OB|，
则点B的直角坐标为________．
解析：依题意，点B的极坐标为4，5π12，
∵cos 5π12＝cosπ4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π6
＝22•32－22•12＝6－24，
sin 5π12＝sinπ4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6
＝22•32＋22•12＝6＋24，
∴x＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2，y＝ρsin θ＝6＋2.
∴点B的直角坐标为(6－2，6＋2)．
答案：(6－2，6＋2)
7．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．
解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0
得x＝4t1＋t2，y＝4t21＋t2，∴参数方程为x＝4t1＋t2y＝4t21＋t2.
答案：x＝4t1＋t2y＝4t21＋t2
8．点M(x，y)在椭圆x212＋y24＝1上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为
________，此时点M的坐标是________．
解析：椭圆的参数方程为x＝23cos θy＝2sin θ(θ为参数)，
则点M(23cos θ，2sin θ)到直线x＋y－4＝0的距离
d＝|23cos θ＋2sin θ－4|2＝|4sinθ＋π3－4|2.
当θ＋π3＝32π时，dmax＝42，此时M(－3，－1)．
答案：42　(－3，－1)
9．(2010•新课标全国高考)已知直线C1：x＝1＋tcos α，y＝tsin α，(t为参数)，圆C2：x＝cos θ，y＝sin θ，
(θ为参数)．
(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨
迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，
C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组y＝3x－1，x2＋y2＝1，
解得C1与C2的交点为(1,0)，12，－32.
(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.
A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
x＝12sin2α，y＝－12sin αcos α，(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为x－142＋y2＝116.
故P点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．
10．在极坐标系中，已知圆C的圆心C3，π6，半径r＝3，
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．
解：(1)设M(ρ，θ)为圆C上任一点，OM的中点为N，
∵O在圆C上，∴△OCM为等腰三角形，
由垂径定理可得|ON|＝|OC|cosθ－π6，
∴|OM|＝2×3cosθ－π6，
即ρ＝6cosθ－π6为所求圆C的极坐标方程．
(2)设点P的极坐标为(ρ，θ)，因为P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，所
以点Q的坐标为35ρ，θ，由于点Q在圆上，所以35ρ＝6cosθ－π6.
故点P的轨迹方程为ρ＝10cosθ－π6.
求采纳 谢谢 亲

追问

……对不起啦亲……能不能是简答题……不是选择填空……

追答

哦哦 我就给你发

追问

谢谢了。正确的话给你加80！嘻嘻，主要急用……

追答

15．过点P(－2,0)作曲线y＝x的切线，求切线方程．
[解析]　因为点P不在曲线y＝x上，
故设切点为Q(x0，x0)，∵y′＝12x，
∴过点Q的切线斜率为：12x0＝x0x0＋2，∴x0＝2，
∴切线方程为：y－2＝122(x－2)，
即：x－22y＋2＝0.
16．质点的运动方程为s＝1t2，求质点在第几秒的速度为－264.
[解析]　∵s＝1t2，
∴Δs＝1(t＋Δt)2－1t2
＝t2－(t＋Δt)2t2(t＋Δt)2＝－2tΔt－(Δt)2t2(t＋Δt)2
∴limΔt→0 ΔsΔt＝－2tt2•t2＝－2t3.∴－2t3＝－264，∴t＝4.
即质点在第4秒的速度为－264.
17．已知曲线y＝1x.
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；
(3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
[解析]　∵y＝1x，∴y′＝－1x2.
∵O在圆C上，∴△OCM为等腰三角形，
由垂径定理可得|ON|＝|OC|cosθ－π6，
∴|OM|＝2×3cosθ－π6，
即ρ＝6cosθ－π6为所求圆C的极坐标方程．
(2)设点P的极坐标为(ρ，θ)，因为P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，所
以点Q的坐标为35ρ，θ，由于点Q在圆上，所以35ρ＝6cosθ－π6.
故点P的轨迹方程为ρ＝10cosθ－π6.
求采纳 亲 谢谢

追问

能不能再帮我找点？三类各十五道……不够啊……

追答

13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．
[答案]　32x(1＋2x2)7
[解析]　令u＝1＋2x2，则y＝u8，
∴y′x＝y′u•u′x＝8u7•4x＝8(1＋2x2)7•4x
＝32x(1＋2x2)7.
14．函数y＝x1＋x2的导数为________．
[答案]　(1＋2x2)1＋x21＋x2
[解析]　y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.
11．若f(x)＝x，φ(x)＝1＋sin2x，则f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.
[答案]　2sinx＋π4，1＋sin2x
[解析]　f[φ(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2
＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋π4.
φ[f(x)]＝1＋sin2x.
12．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
[答案]　π6
[解析]　f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，
f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)
＝2sin3x＋φ＋5π6.
若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，
即0＝2sinφ＋5π6，∴φ＋5π6＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.
13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．
[答案]　32x(1＋2x2)7
[解析]　令u＝1＋2x2，则y＝u8，
∴y′x＝y′u•u′x＝8u7•4x＝8(1＋2x2)7•4x
＝32x(1＋2x2)7.
14．函数y＝x1＋x2的导数为________．
[答案]　(1＋2x2)1＋x21＋x2
[解析]　y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.
一次发不了太多 追问我

追问

亲……三次以后追问一次5财富值……

追答

设进入某商场的每一位顾客购买价商品的概率为0.5，购买乙商品的概率为0.6，
1求进入商场的一位顾客购买甲，乙两种商品种的一种的概率。
2.求进入商场的一位顾客至少购买甲，乙两种商品种的一种的概率。
3.设~是进入商场的3位顾客至少购买甲，乙商品中一种的人数，求~的分布列和期望
1,1-0.5*0.6-0.5*0.4=0.5
2,1-0.5*0.4=0.8
3, ~ 0 1 2 3
P 0.2^3 0.2^2*0.8 0.2*0.8^2 0.8^3

1.当甲盒子中的球被取完时，乙盒子中剩下X个球的概率，求X分布列（表达式，不要直接给答案）
2.当第一次取完一个盒子中的球时，另一个盒子恰剩下Y个球，求Y的分布列和数学期望
有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有3个小球，乙盒子中装有5个小球，每次随机选取一个盒子并从中取出一个球

有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有3个小球，乙盒子中装有5个小球，每次随机选取一个盒子并从中取出一个球

Answer 2

下载历年高考题（文理），这三种类型每年都有。

追问

……好吧呢，谢谢了