Question

为什么原命题为真，则它的逆否命题一定为真？

为什么啊？书上只是说一下，有没有详细的证明啊？
原命题“若P则Q ” 说明某件事如果满足P，则一定也满足Q，这相当于说“属于集合P的元素一定属于集合Q ”

这句话我不太理解呃…… 为什么呢？若P则Q的意思应该是如果P成立，那么Q就成立么

Answer 1

我找到的解释：

这可用集合的原理来解释

假设有一个命题：若P则Q，于是该命题的逆否命题为：若非Q则非P

如何证明他们等价呢？可以把条件P和条件Q分别看作是两个集合P，Q，

原命题“若P则Q ” 说明某件事如果满足P，则一定也满足Q，这相当于说“属于集合P的元素一定属于集合Q ”

所以可知：P包含于Q，即P∩Q=P，也即P∪Q=Q

逆否命题“若非Q则非P ”说明某件事如果不满足Q，则一定也不满足P，这相当于说“如果一个元素不属于集合Q，则它一定不属于集合P ” 但是，如果一个元素不属于集合Q，那么它一定属于Q的补集；同理，如果一个元素不属于集合P，那么它一定属于P的补集。因此上面那句话又可以理解为“如果一个元素属于Q的补集，则它一定属于P的补集”

所以可知（假设全集为I）：I-Q包含于I-P，即(I-Q)∩(I-P)=I-Q，根据德.摩根定律得：Q∪P=Q，即P∪Q=Q。这和我们从原命题中得到的结论是一致的

因此，原命题等价于逆否命题。同理可得，否命题等价于逆命题。