Question

已知二次函数f(x)=ax^2+x.

已知二次函数f(x)=ax^2+x（a属于R，a≠0）
（1）对任意x1,x2∈R,比较1/2*[f(x1)+f(x2)] 与f[(x1+x2)/2]的大小
（2）若x属于【0，1】，有绝对值f(x)≤1，求a 的取值范围

Answer 1

解：(1)∵[f(x1)+f(x2)]/2 - f[(x1+x2)/2]
=[( ax1²+x1)+( ax2²+x2)]/2 - {a[(x1+x2)/2]²+ (x1+x2)/2}
=(ax1²+ ax2²)/2 - a(x1+x2)²/4
=(a/4)*[(2x1²+ 2x2²) - (x1+x2)²]
=(a/4)*(x1²+ x2²-2x1x2)
=(a/4)*(x1-x2)²

∴可见：
若a＞0，则上式≥0，也即[f(x1)+f(x2)]/2 - f[(x1+x2)/2]≥0，所以f(x1)+f(x2)]/2≥f[(x1+x2)/2]
若a＜0，则上式≤0，也即[f(x1)+f(x2)]/2 - f[(x1+x2)/2] ≤0，所以f(x1)+f(x2)]/2≤f[(x1+x2)/2]

2、依题意|f(x)|≤1，-1≤f(x)≤1
若a＞0，则f(x)表示开口向上的二次函数，其对称轴x= -1/(2a)＜0，
函数在[0，1]上是增函数，所以f(0)≤f(x)≤f(1)，即0≤f(x)≤a+1，依题意得a+1≤1，解出a<0，与前面的假设a＞0相矛盾，所以不符题意。

所以只有a＜0

则f(x)表示开口向下的二次函数，其对称轴x= -1/(2a)＞0，需要分情况讨论：

①若对称轴在区间[0，1]内部偏左，此时0＜-1/(2a)≤1/2，即a≤-1，
函数在[0，1]上先增后减，在x=1时取得最小值，在对称轴处取得最大值，
所以f(1)≤f(x)≤f[-1/(2a)]，即a+1≤f(x)≤-1/(4a)，依题意-1≤f(x)≤1，
∴-1/(4a)≤1且a+1≥-1，
解上面的不等式组并结合a≤-1得
-2≤a≤-1。

②若对称轴在区间[0，1]内部偏右，此时1/2＜-1/(2a)＜1，即-1＜a＜-1/2，
函数在[0，1]上先增后减，在x=0时取得最小值，在对称轴处取得最大值，
所以f(0)≤f(x)≤f[-1/(2a)]，即0≤f(x)≤-1/(4a)，依题意-1≤f(x)≤1，
∴-1/(4a)≤1，解之并结合-1＜a＜-1/2得
-1＜a＜-1/2。

③若对称轴在区间[0，1]外，此时-1/(2a) ≥1，即-1/2≤a＜0，
函数在[0，1]上单调递增，在x=0时取得最小值，在x=1时取得最大值，
所以f(0)≤f(x)≤f(1)，即0≤f(x)≤a+1，依题意-1≤f(x)≤1，所以
a+1≤1，结合-1/2≤a＜0解之得
-1/2≤a＜0。

①②③取并集得到a的取值范围为
-2≤a＜0