Question

微分方程(y^2-x^2)dx-xydy=0,在x=1,y=1时的特解？

Answer 1

这是齐次方程，因为它可化成dy／dy＝((y＾2-x＾2)／(xy)＝y／x一x／y，令u＝y／x，则y＝ux，dy／dx＝d(ux)／dx＝xdu／dx＋u，
即xdu／dx＋u＝u-1／u，xdu／dx＝-1／u，udu＝-dx／x，两端积分，得u＾2＝-2lnx＋lnC，即(y／x)＾2＝ln(C/x^2)，
当x＝1，y＝1，代入上式求出C＝e，
∴特解为(y/x)^2=ln(e/x^2)。

Answer 2

解:微分方程为(y²-x²)dx-xydy=0，化为

x·2ydy/dx=2y²-2x²，设y²=u，方程化为

xdu/dx=2u-2x²，u'/x²-u·2/x³=-2/x，

(u/x²)'=-2/x，u/x²=ln(1/x²)+lnc²(c为任意非零常数)，方程的通解为y²=x²ln(c²/x²)

∵x=1，y=1 ∴有c²=e，方程的特解为y²=x²ln(e/x²)