Question

6题，谢谢

Answer 1

郭敦顒回答：

在四棱锥P—ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边△

（Ⅰ）证明：PD⊥CD

∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，PA=PB=PD=AB=AD- 2，

取BC中点E，连DE，则BE=CE=DE=2，ABED为正方形，连AE、BD交于Q，AE=BD=CD=2√2，

∴PB⊥PD，且PQ⊥平面ABCD于Q，PQ=BQ=BD/2=√2，

连CQ，则PQ⊥CQ，∠PQC=90°，

在△BCQ中，BC=2AD=4M，BQ=√2，∠CBQ=45°，

按余弦定理：cos∠CBQ =（BC²+BQ²－CQ²）/（2BC•BQ），

∴cos 45°=（1/2）√2=（16+2－CQ²）/（8√2），

∴8=18－CQ²，CQ²=10，CQ=√10，

∴在Rt⊿PQC中，PC=√（PQ ²+CQ ²）=√（2+10）=2√3，

在△PCD中，PC=2√3，PD=2，CD=2√2

PC²=12，PD²=4，CD²=8，12=4+8，

∴PC²=PD²+CD²，

按勾股定理，PD与PC为Rt⊿PCD的两直角边，

∴PD⊥CD。

（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离，

作AF⊥CD的延长线于F，则AF=QD=√2，

在平面PCD上，作PM∥CF，作MF∥PD，相交于M，则MF⊥CF，

作AN⊥MF于N，作QK⊥PD于K，易证AN=QK，AN⊥平面PCD，

在PQD中，PD=2，PQ=DQ=√2，QK=PD/2=1，∴AN=1，

∴A到平面PCD的距离=AN=1。

                                      M

                             P

                                   N

 

                       K

                             

                   D          F        

                                      A

 

                         Q

 

   C            E              B