Question

请教一道关于函数最值的数学题

x,y属于正实数，x+y=c，c属于（0，2】，求u=（x+1/x）（y+1/y)的最小值

Answer 1

用基本不等式 a +b >= 2）ab ………… ）这个是根号
u == xy + 1/xy + x/y +Y/x
>= 2 + 2 == 4
当且仅当 xy =1/xy 且x/y=y/x时成立，即x==y==1时，u有最小值4

Answer 2

u=xy+x/y+y/x+1/xy
因为x,y属正实数 c属于（0，2】，
所以，运用均值定理
xy+1/xy>=2
x/y+y/x>=2
故u>=4
当且仅当 xy=1/xy，x/y=y/x
即xy=1(xy=-1舍)
x=y(x=-y舍)
即x=y=1 取等
故最小值为4

Answer 3

(x+1/x)>=2; 当 x＝1时 取得最小值
(y+1/y)>=2; 当 y＝1时 取得最小值

故 ：
u =（x+1/x）（y+1/y) >= 4； 当x＝y＝1时 取得最小值；
恰好x , y 能同时取得 1。
所以u的最小值是4.