Question

有一个三位密码锁，每个位是0至9，其中一个数字已知，这个锁的密码是所有数位之和是11，试多少次？

Answer 1

密码锁的三个数字是 A、B和C，则 A+B+C=11
假设 A 的数字和位置是已知的，B+C=11-A
分类讨论：
A=0，B+C=11-A=11。这个不定方程的解，从 0+11，1+10 ..... 10+1，11+0，共12组。大于9的解无效，因此，有效解是 12-4=8组。
同理：
A=1，B+C=11-1=10，11组解，扣除 10+0 和 0+10，有效解是 11-2=9组。
A=2，B+C=11-2=9，10组解均有效。
A=3，B+C=11-3=8，9组解均有效。
A=4，B+C=11-4=7，8组解均有效。

A=5，B+C=11-5=6，7组解均有效。

A=6，B+C=11-6=5，6组解均有效。

A=7，B+C=11-7=4，5组解均有效。

A=8，B+C=11-8=3，4组解均有效。

A=9，B+C=11-9=2，3组解均有效。

上述合计，8+9+10+9+8+7+6+5+4+3=69种方案。

因此，最多需要试 69次。
如果 A 的数字已知，但是位置不确定，则试验的方案还需要增加位置交换的情形。简单计算，要乘以3的全排列，即6倍，69*6=414。由于部分情形下，ABC中有两个数字相同，需要扣除，即最大不超过414次。

Answer 2

有一个三位数密码锁，
已知其中一个数字，
还要试100次