Question

高中一道数学题

甲船由A岛出发向北偏东45度的方向作匀速直线航行，速度为15√2海里小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（θ＝arctg12）的方向作匀速直线航行，速度为10√5海里小时，如图（1）求出发后3小时两船相距多少海里？（2）求两船出发后多少时间相距最近？最近距离为多少海里？（3）两船在航行中能否相遇？试说明理由

Answer 1

如图，以B为原点，正东为x轴，正北为y轴建立坐标系。

（1）3小时两船分别到达C，D处。AC=45√2海里, BD=30√5海里.

作CE垂直x轴于E，DF垂直x轴于F，AG//x交CE于G，DH//x交CE于H。

则 GA=GC=AC*cos(45度)=45, BF=BD*sinθ=40√3, DF=BD*cosθ=10/√3.

==> DH=40√3-45, CH=45+40-10/√3=85-10/√3.

==> CD=sqrt(CH^2+DH^2)=5/3*sqrt(5070-1500*3^(1/2))海里.

（2）由于θ＝arctg12>45度, 因此出发后两船距离CD会越来越大。

故只有在出发处两船距离最近，最近距离为40海里.

（3）由（2）知，两船在航行中不可能相遇。