Question

用参数方程解这道题，【数学选修4-4 人教版】

已知ABC是抛物线y^2=2px上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB，AC分别与抛物线的轴交于D，E两点。求证：抛物线的定点平分线段DE

Answer 1

抛物线参数方程为y=t，x=t^2/2p
设B(t1^2/2p,t1),C(t1^2/2p,-t1),A(t2^2/2p,t2)
所以求得AC的直线方程为
y-t2=(t2-t1)(x-t2^2/2p)/((t2^2/2p)-(t1^2/2p))
化简y-t2=2p(x-t2^2/2p)/(t1+t2)
同理求得直线AB方程为
y-t2=2p(x-t2^2/2p)/(t2-t1)
所以可以求出AB、AC与x轴即抛物线轴交点
D（-t1t2/2p,0）、E(t1t2/2p,0)
所以，抛物线的顶点平分线段DE