Question

关于数列的难题....

列{An}前n项和为Sn。a1=1/4，2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n大于等于2）。数列{bn}满足B1=3/4，3bn—bn-1=n（n大于等于2）。求证{bn-an}为等比数列。

Answer 1

2Sn=2S(n-1)+2A(n-1)+1
2An=2Sn-2S(n-1)=2A(n-1)+1
An-A(n-1)=1/2
{An}是1/4为首项，1/2为公差的等差数列
An=1/4+(n-1)/2=(2n-1)/4

3Bn=B(n-1)+n
3Bn-3An
=B(n-1)+n-3An
=B(n-1)+n-3n/2+3/4
=B(n-1)-n/2+3/4
=B(n-1)-[2(n-1)-1]/4
=B(n-1)-A(n-1)
(n>=2)
{Bn-An}是公比为1/3的等比数列
B1-A1=3/4-1/4=1/2
Bn-An=1/2×(1/3)^(n-1)=(3/2)×(1/3)^n