Question

有理函数的不定积分拆分方法

Answer 1

求有理函数的积分时，先将有理式分解为多项式与部分分式之和，再对所得到的分解式逐项积分。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合。

积分函数f(x)=(x^2+1)/[(x-1)(x+1)^2]

用待定系数法，设分拆成以下有理分式f(x)=A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x+1)^2

通分得f(x)=[A(x+1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x-1)]/[(x-1)(x+1)^2]

=[(A+B)x^2+(2A+C)x+(A-B-C)]/[(x-1)(x+1)^2]

与原式比较，分母同，分子中x同次幂的系数必然相同，得

A+B=1,2A+C=0,A-B-C=1,联立解得A=B=1/2,C=-1,

则f(x)=(1/2)[1/(x-1)+1/(x+1)]-1/(x+1)^2。

Answer 2

求有理函数的积分时，先将有理式分解为多项式与部分分式之和，再对所得到的分解式逐项积分。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合。
积分函数f(x)=(x^2+1)/[(x-1)(x+1)^2]
用待定系数法，设分拆成以下有理分式f(x)=A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x+1)^2
通分得f(x)=[A(x+1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x-1)]/[(x-1)(x+1)^2]
=[(A+B)x^2+(2A+C)x+(A-B-C)]/[(x-1)(x+1)^2]
与原式比较，分母同，分子中x同次幂的系数必然相同，得
A+B=1,2A+C=0,A-B-C=1,联立解得A=B=1/2,C=-1,
则f(x)=(1/2)[1/(x-1)+1/(x+1)]-1/(x+1)^2。