Question

求解数学题，涉及解三角形，不等式。。。

Answer 1

此题计算量甚大
参考答案如下：如有计算错误，海涵
a=√(x^2+xy+y^2),b=p√(xy),c=x+y,x>0,y>0
∵c=x+y=√(x^2+2xy+y^2)>√(x^2+xy+y^2)=a,
∴c>a 若有长度为abc的三边都构成△,则任意两边之和大于第三边显然b+c>a
所以只需再满足a+b>c,a+c>b都恒成立即可
(1). a+b>c恒成立即√(x^2+xy+y^2)+p√(xy)>x+y恒成立
p√(xy)>(x+y)-√(x^2+xy+y^2), p>[(x+y)-√(x^2+xy+y^2)]/√(xy),
p>[(x+y)-√(x^2+xy+y^2)]*[(x+y)+√(x^2+xy+y^2)] /{[√(xy)]*[(x+y)+√(x^2+xy+y^2)]}....(分子有理化)
p>√(xy)/[(x+y)+√(x^2+xy+y^2)] p>√(xy)/[√(x^2+2xy+y^2)+√(x^2+xy+y^2)] p>1/[√(x/y+2+y/x)+√(x/y+1+y/x)]
∵x>0,y>0 ∴x/y+y/x≥2 √(x/y+2+y/x)+√(x/y+1+y/x)≥2+√3
(当x=y时取等号)
∴0<1/[√(x/y+2+y/x)+√(x/y+1+y/x)]≤1/(2+√3)=2-√3 也就是说1/[√(x/y+2+y/x)+√(x/y+1+y/x)]最大值为2-√3 若p>1/[√(x/y+2+y/x)+√(x/y+1+y/x)]恒成立则p>2-√3 (2). a+c>b恒成立即√(x^2+xy+y^2)+(x+y)>p√(xy)恒成立
∵x>0,y>0 ∴x^2+y^2≥2xy,x+y≥2√(xy)....(当x=y时取等号) 因此√(x^2+xy+y^2)+(x+y)≥√(2xy+xy)+2√(xy)=(2+√3)√(xy) 若√(x^2+xy+y^2)+(x+y)>p√(xy)恒成立则(2+√3)√(xy))>p√(xy)恒成立即2+√3>p 综上所述,p的取值范围是(2-√3,2+√3)

Answer 2

合理的分析与技巧能减少计算量，简便解法如下：
a=√（X²＋XY＋Y²）＜√（X²＋2XY＋Y²）=X＋Y=C
即a＜c.可见，最大边为b或c或两者都是.三边能组成三角形的充要条件是较小两边和大于最大边。
（1）若b≥c，则,由基本不等式x＋y≥2√xy，得p≥2.且c+a＞b,即x＋y＋√（x²＋xy＋y²）＞p√xy.令m=（x+y)/√xy,由基本不等式，m=（x+y)/√xy≥2.该不等式变形为m＋√（m²－1）＞p恒成立。f(m)=m＋√（m²－1）显然是增函数，故m＋√（m²－1）≥2＋√（2²－1）=2＋√3.得p＜2＋√3.
（2）若b＜c,则a+b＞c.即 √（X²＋XY＋Y²）＋p√xy＞x＋y.令m=（x+y)/√xy,此时，m≥2.该不等式变形为p＞m－√（m²－1）,令g(m)=m－√（m²－1），易发现g(m)×f(m)=1. f(m)递增，则g(m)必递减。故g(m)≥2－√（2²－1）=2－√3，故p＞2－√3.
综上，2－√3＜p＜2＋√3

Answer 3

a<c
1、b>a，a+c>b
2、a>b, b+c>a
两边平方……