Question

绝对值的导数不可导的证明

Answer 1

使用|x|的左导数右导数不相等来推导出|x|不可导,具体的推理过程，使用的是导数的另外一个形式的公式

因为绝对值x的特征当x>0 使用 |x| =  x 如果 x < 0 x = -x ，无论如何|x|都是正数

于是左导数等于f'(0_)  = f(x) - f(x0) / x - x0 由于 x0 = 0 所以 f'(0_) = f(x) / x 因为是左导数 f'(0_) = -x  / x = -1

于是右导数等于f'(0_) = f(x) - f(x0) / x -x0 由于 x0 = 0 所以 f'(0_) = f(x) / x 因为是右导数所以 f'(0+) = x  / x = 1

左导数不等于右导数，于是函数f(x) = |x| 在 x = 0处不可导. 

左导数，右导数这样的单侧导数通常用在分段函数证明可导与否上。左侧逼近x0 与 右侧逼近x0， 使得增量x趋近于0的这两种不同的方式可以证明类似绝对值这样的函数在某点可导。